25.3 Pi = 3.1416 – Aryabhata"s Approximation

गणितपाद श्लोक 10 — मूळ पाठ आणि स्पष्टीकरण

“चतुराधिकं शतमष्टगुणं द्वाषष्टिश्च तथा सहस्राणाम्। अयुतद्वयविष्कम्भस्यासन्नो वृत्तपरिणाहः॥”

अनुवाद: "100 में 4 जोड़ो, 8 से गुणा करो, और 62000 में जोड़ो। यह 20000 व्यास वाले वृत्त की परिधि का आसन्न (सन्निकट) मान है।"

गणना: (100 + 4) × 8 + 62000 = 832 + 62000 = 62832। π = 62832 ÷ 20000 = 3.1416।

आसन्नः का महत्त्व: "आसन्न" = "निकटतम" = "सटीक नहीं।" यह शब्द संकेत देता है कि आर्यभट को पता था यह मान अनुमानित है, और संभवतः उन्होंने महसूस किया था कि π को कोई सरल भिन्न व्यक्त नहीं कर सकती।

माधव-लाइबनिझ श्रेणी

π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + 1/9 − 1/11 + ...

यह श्रृंखला π/4 = arctan(1) है – और इसलिए यह arctan की टेलर श्रृंखला का एक विशेष मामला है। इसे "माधव-ग्रेगरी-लाइबनित्ज़ श्रृंखला" भी कहते हैं। यूरोप में ग्रेगरी (1671) और लाइबनित्ज़ (1673) ने इसे स्वतन्त्र रूप से खोजा।

समस्या: यह श्रृंखला बहुत धीरे अभिसरित होती है – 11 दशमलव के लिए अरबों पद चाहिए। माधव का समाधान: सुधार पद (correction terms) – एक अतिरिक्त अनुपद जो अभिसरण को नाटकीय रूप से तेज़ कर देता है।

ज्योतिषशास्त्रातील π चे अनुप्रयोग