ऋणात्मक संख्याएँ — जब भारत ने कहा "शून्य से कम" और यूरोप ने कहा "असंभव"

628 ईस्वी में, ब्रह्मगुप्त ने ब्रह्मस्फुटसिद्धान्त लिखा — वही ग्रंथ जिसने हमें शून्य दिया। अध्याय 18 में ऋणात्मक संख्याओं के लिए पहले औपचारिक अंकगणितीय नियम हैं। उन्होंने इन्हें आर्थिक शब्दों में तैयार किया जो हर व्यापारी समझ सकता था: धन (= सम्पदा = धनात्मक) और ऋण (= कर्ज़ = ऋणात्मक)। ऋण भारतीय व्यापारियों और बैंकरों के लिए एक भौतिक, दैनिक वास्तविकता था। ऋणात्मक संख्याएँ दार्शनिक पहेलियाँ नहीं थीं — वे लेखा-जोखा के उपकरण थे।

ब्रह्मगुप्त ने ऋणात्मक संख्याओं के साथ सभी चार संक्रियाओं के लिए पूर्ण, सही नियम दिए — यूरोप के उन्हें स्वीकार करने से एक हजार साल से भी अधिक पहले। उनकी एकमात्र त्रुटि: उन्होंने 0 ÷ 0 = 0 भी घोषित किया।

जैन गणितज्ञ महावीर (लगभग 850 ईस्वी) ने गणितसारसंग्रह लिखा — "गणित के सार का संग्रह।" उन्होंने ब्रह्मगुप्त के ऋणात्मक संख्या नियमों का विस्तार किया और ऋण, हानि और घटाव अनुक्रमों के संदर्भ में ऋणात्मक मात्राओं के साथ व्यापक रूप से काम किया। उन्होंने — गलत तरीके से — घोषित किया कि ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल मौजूद नहीं है। यह उनके समय के ज्ञान को देखते हुए उचित था। उनका व्यवस्थित उपचार पश्चिम से सदियों आगे था।

यूरोप के सबसे बड़े गणितज्ञों ने ब्रह्मगुप्त के बाद एक हजार से अधिक वर्षों तक ऋणात्मक संख्याओं का विरोध किया। रेने डेकार्ट (1637 ईस्वी) ने समीकरणों की ऋणात्मक जड़ों को "झूठी जड़ें" कहा। ब्लेज़ पास्कल (1650 ईस्वी) ने जोर देकर कहा कि शून्य में से एक संख्या घटाना "शुद्ध बकवास" है। यहाँ तक कि लियोनार्ड यूलर भी शुरू में ऋणात्मक संख्याओं से जूझते थे। फ्रांसिस मासेरेस (1758 ईस्वी) ने पूरी किताबें लिखीं यह तर्क देते हुए कि ऋणात्मक संख्याओं को गणित से समाप्त किया जाना चाहिए।

भारत ने ऋणात्मक संख्याओं को इतनी आसानी से क्यों स्वीकार किया जबकि यूरोप एक सहस्राब्दी से अधिक समय तक संघर्ष करता रहा? उत्तर व्यावहारिक है: भारतीय अर्थव्यवस्था को उनकी आवश्यकता थी। भारत में यूरोप से सदियों पहले एक परिष्कृत बैंकिंग और ऋण प्रणाली थी। ऋण की अवधारणा मनुस्मृति और अर्थशास्त्र जैसे ग्रंथों में कानूनी और व्यावसायिक रूप से संहिताबद्ध थी। एक व्यापारी जो 50 सिक्के का ऋणी था लेकिन उसके पास केवल 30 थे, उसे "-20 सिक्के" दर्शाने का एक तरीका चाहिए था।

भारतीय खगोलशास्त्र (ज्योतिष) और ऋणात्मक संख्याओं के बीच संबंध प्रत्यक्ष और सुंदर है। ग्रहों के देशांतर 0° से 360° तक मापे जाते हैं। ग्रह की वक्री गति — जब वह तारों के विपरीत पीछे चलता प्रतीत होता है — के लिए ऋणात्मक वेग (डिग्री प्रति दिन) को ट्रैक करना आवश्यक है। ऋणात्मक अंकगणित के बिना, आप वक्र-गति की गणना नहीं कर सकते। इस ऐप में प्रत्येक पंचांग गणना उस चिह्नित अंकगणित का उपयोग करती है जिसे ब्रह्मगुप्त ने 628 ईस्वी में औपचारिक रूप दिया था।